نظریه طیفی گراف

برای گراف ها لاپلاسین های مختلفی می توان تعریف کرد. در حالت کلی لاپلاسین ماتریسی متقارن است که درایه هایی از آن که روی قطر اصلی نیستند منفی هستند اگر رئوس نظیر آن مجاور باشند و صفرند اگر رئوس نظیر آن مجاور نباشند. شکل رایج لاپلاسین یک گراف به صورت l=t-a است که در آن t ماتریس درجه و a ماتریس مجاورت است. در اینجا لاپلاسین به شکل (l=t^(-1/2)lt^(-1/2 تعریف می شود. به رغم آن که این تعریف کمی پیچیده به نظر می رسد، با این حال مقادیر ویژه l ارتباط نزدیکتری با ناورداهای گراف دارند. در این پایان نامه، هدف مطالعه گراف ها از طریق تحلیل طیف ماتریس لاپلاسین آنها می باشد. فصل اول مربوط به مفاهیم مقدماتی است. در این فصل ابتدا به بیان تعاریف و قضایایی از نظریه گراف می پردازیم. سپس به طور مختصر راجع به کارهای قدیمی تری که در نظریه طیفی گراف انجام شده، یعنی طیف ماتریس مجاورت گراف و ارتباط آن با برخی از خواص گراف را توضیح خواهیم داد. پس از آن به بیان مفاهیمی از آنالیز و هندسه، از جمله نظریه اندازه می پردازیم. سپس در مورد فضای احتمال و نظریه ارگودیک مطالبی را بیان می کنیم که در فصول بعد ارتباطشان با مفاهیم مشابه گسسته روشن خواهد شد. پس از آن راجع به فضای هیلبرت و عملگرهای روی آن صحبت خواهیم کرد و عملگر لاپلاسین در حالت پیوسته را معرفی خواهیم نمود. همان طور که بعداً دیده می شود ارتباطی بسیار نزدیک با مشابه گسسته آن دارد. در انتها نیز به بیان مسائل هم محیطی در هندسه و معرفی ثابت چیگر خواهیم پرداخت. در فصل دوم ابتدا لاپلاسین یک گراف را تعریف کرده و سپس فرمول هایی برای محاسبه مقادیر ویژه آن ارائه می دهیم. همچنین کران هایی برای مقادیر ویژه پیدا می کنیم. در واقع ملاحظه می کنیم که مقادیر ویژه یک گراف در فاصله [0,2] قرار دارند. نیز خواهیم دید که شرط لازم و کافی برای همبندی گراف آن است که تکرر مقدار ویژه صفر برابر 1 باشد. همچنین شرط لازم و کافی برای دوبخشی بودن گراف آن است که تکرر مقدار ویژه 2، برابر تعداد مولفه های همبندی گراف باشد. آخرین بخش این فصل نیز اختصاص به معرفی گراف وزن دار و تعمیم تعاریف و قضایای بیان شده برای آنها دارد. در فصل سوم به معرفی قدم زدن تصادفی و برخی شرط های ارگودیک بودن آن می پردازیم. به طور دقیق تر خواهیم دید که روی یک گراف می توان قدم زدن تصادفی ارگودیک تعریف کرد اگر و تنها اگر همبند بوده و دوبخشی نباشد. در بخش بعدی این فصل رابطه میان مقادیر ویژه یک گراف و تقریب به حالت توزیع پایدار در یک قدم زدن تصادفی مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین مفاهیم قوی تری از همگرایی نسبت به همگرایی در نرم l2 را معرفی خواهیم کرد. سرانجام در فصل چهارم به طرح چند مسئله هم محیطی و معرفی ثابت چیگر و ثابت چیگر تغییریافته برای گراف پرداخته و نشان خواهیم داد که از طریق یافتن این ثابت، می توان مسائل هم محیطی را حل کرد. در بخش دوم این فصل نامساوی هم محیطی را معرفی و اثبات می کنیم. این نامساوی کران بالا و پایینی برای کوچکترین مقدار ویژه غیرصفر گراف ارائه می دهد. سرانجام در بخش آخر این فصل، فرمول دیگری برای ثابت چیگر ارائه می دهیم. در ادامه این بخش دو مسئله هم محیطی دیگر را مطرح می کنیم. همچنین با در نظر گرفتن تعداد رئوس یک مجموعه به جای حجم آن به عنوان اندازه مجموعه، ثابت چیگر تغییریافته دیگری را معرفی می کنیم که تعیین آن معادل با حل مسائل اخیر است.